Коэффициент корреляции r_ij – это статистическая мера направления и степени линейной зависимости между двумя случайными переменными (меняется от –1 до +1). Для разных значений коэффициента корреляции на рис. 4.8 приведены соответствующие диаграммы рассеяния. При нулевой корреляции переменные X и Y никак не связаны – Y меняется полностью случайно, вне зависимости от изменений X. (Кстати, диаграмма построена с помощью генератора случайных чисел, поэтому распределение является заведомо случайным, хотя и не выглядит таковым – так и хочется добавить точек в пустые места. Наши представления о случайности зачастую сильно отличаются от действительности.)

Рис.4.8. Диаграммы рассеяния при различных значениях коэффициента корреляции.

При приближении абсолютной величины коэффициента корреляции к единице зависимость между переменными приобретает все более определенный характер, до тех пор, пока случайность полностью устраняется (диаграмма в правом верхнем углу). На диаграмме в левом нижнем углу рис. 4.8 коэффициент корреляции несколько выше по абсолютной величине, чем на диаграмме в правом нижнем углу – точки группируются ближе к линии регрессии.

Квадрат коэффициента корреляции (всегда обозначается как R_ij²) называется коэффициентом детерминации. Этот коэффициент является мерой рассеяния данных относительно линии регрессии и показывает, какая доля изменения зависимой переменной Y определяется (детерминируется) изменением независимой переменной X.

А теперь для примера подсчитаем ковариацию и коэффициент корреляции доходности индекса РТС и акций РАО ЕЭС, ход расчета виден из нижеприведенной таблицы. Диаграмма рассеяния и линия тренда приведены на рис. 4.9, изменения в доходности индекса РТС объясняют примерно 93% изменений доходности РАО ЕЭС.

Рис.4.9. Корреляция годовой доходности индекса РТС и акций РАО ЕЭС в 1996-2001 гг.

В последней строке таблицы приведен коэффициент β – тангенс угла наклона линии регрессии к оси абсцисс, его значение будет пояснено в следующей главе.

Отметим, что при расчете по историческим данным вероятность каждой величины равна 1 / N, где N – просто число используемых данных (в нашем случае 6). Однако более правильным (по теории статистики) является использование величины 1 / (N-1), по числу степеней свободы системы (оно уменьшается на единицу, так как вначале рассчитываются средние значения). Поэтому при расчете как ковариации, так и дисперсий суммы делятся на N-1. Это замечание носит чисто теоретический характер – обычно при вычислении коэффициентов делители типа (N-1) сокращаются, так что на практике подсчитывают просто отношения соответствующих сумм столбцов таблицы (без вычисления собственно ковариаций и дисперсий).