Современная теория эффективного портфеля была заложена в 50-х гг. прошлого века в работах Г.Марковица (Harry Markovitz). В этой теории портфель активов характеризуется двумя величинами: 1. ожидаемой доходностью; 2. риском. В качестве меры риска обычно используется стандартное отклонение доходности, или его квадрат – дисперсия доходности. Расчет ожидаемой доходности для отдельного актива и портфеля активов уже рассматривался ранее, поэтому здесь формулы будут просто повторены. Ожидаемая доходность портфеля определяется как сумма ожидаемых доходностей отдельных активов [R – return (доходность), W – weight (вес), P – probability (вероятность)]:

где W_k - вес актива k в портфеле, содержащем M активов.

Ожидаемая доходность актива k:

где P_j - вероятность того, что доходность актива k составит R_kj (вероятности нормированы - их сумма равна единице), суммирование ведется по всем N возможным сценариям. R_k (ожидаемая доходность) в дальнейших формулах используется в качестве средней величины.

Ожидаемая дисперсия, или квадрат стандартного отклонения доходности актива k:

Тогда дисперсия, или квадрат стандартного отклонения доходности портфеля, как было показано Марковицем, вычисляется по формуле:

где ожидаемая ковариация

где r_ik - коэффициент корреляции.

Таким образом, дисперсия портфеля является функцией дисперсий (вариаций) индивидуальных активов и попарных ковариаций между ними. Легко видеть, что для портфеля, содержащего большое количество активов, формула дисперсии сокращается до:

В самом деле, добавление еще одного актива к большому портфелю, содержащему М активов, в формулу для расчета дисперсии портфеля добавит один член, пропорциональный дисперсии дополнительного актива, и M членов, соответствующим ковариациям дополнительного актива со всеми активами, уже содержащимися в портфеле. При большом M членами, пропорциональными дисперсиям индивидуальных активов, можно пренебречь – вносимая этим погрешность быстро падает с ростом M. Поэтому при включении дополнительного актива в большой портфель дисперсия (и стандартное отклонение) его доходности практически не играет роли – важна только средняя ковариация доходности этого актива с доходностью других активов портфеля.

Подсчитаем дисперсию для модельного портфеля, каждый компонент которого имеет стандартное отклонение, равное 80%, и все компоненты имеют равный вес. Средний коэффициент корреляции примем за 0,5 (на фондовом рынке США средний попарный коэффициент корреляции оценивается в пределах 0,5 – 0,6).

Рис.4.2. Зависимость стандартного отклонения портфеля от числа входящих в него активов.

График зависимости стандартного отклонения доходности такого портфеля от числа входящих в него активов приведен на рис.4.2. Видно, что риск портфеля довольно быстро стремится к асимптотическому значению, равному корню квадратному из средней ковариации (в нашем случае средняя ковариация равна 0,8 * 0,8 * 0,5). Как показывают исследования, такой модельный портфель является хорошим приближением для реальных портфелей, содержащих достаточно большое число активов – дисперсия их доходности быстро стремится к средней ковариации. Для условий фондового рынка США было показано, что 90% диверсифицируемого риска устраняется для реальных портфелей, содержащих от 12 до 18 активов. Для российских условий оценки не проводились из-за недостаточного количества ликвидных акций. Увеличение числа активов в портфеле увеличивает издержки управления, поэтому для каждого инвестора существует некий предел количества активов в портфеле, превышать который нецелесообразно.

Недиверсифицируемый риск для реальных портфелей всегда остается и именуется систематическим. Систематический риск (риск полностью диверсифицированного портфеля, или рынка в целом) определяется стабильностью в экономике (стабильностью макроэкономических параметров). Чем выше стабильность, тем ниже систематический риск.