К большому портфелю мы еще вернемся позднее, а пока целесообразно рассмотреть портфель, включающий всего два актива. Даже столь простая модель уже достаточно хорошо демонстрирует основные черты поведения большого портфеля. Итак:
Рассмотрим зависимость дисперсии портфеля от коэффициента корреляции. В случае, когда он равен 1 (полная положительная корреляция доходности активов):
и стандартное отклонение доходности портфеля равно средневзвешенному стандартному отклонению доходностей входящих в портфель активов – никакого выигрыша при объединении таких активов в портфель нет.
В случае, когда коэффициент корреляции равен –1 (полная отрицательная корреляция)
При этом вес W1 (при известных σ1, σ2) можно подобрать так, чтобы стандартное отклонение доходности портфеля было равным нулю:
Рис.4.3. Доходность двух активов при полной отрицательной корреляции.
Таким образом, из двух активов с полной отрицательной корреляцией доходности всегда можно составить безрисковый портфель. Доходность такого портфеля в зависимости от времени показана на рис.4.3 горизонтальной линией. Две другие линии показывают пример возможного изменения доходностей активов, входящих в портфель. Падение доходности одного актива всегда полностью компенсируется ростом доходности другого актива. Очевидно, управляя этими активами по отдельности, можно было бы увеличить прибыль – достаточно продавать их на вершинах и покупать во впадинах. Таковы издержки диверсификации. Однако активное управление сопряжено с ростом риска, требует затрат на прогнозирование поведения рынка, и не всегда бывает удачным.
Рис.4.4. Зависимость стандартного отклонения доходности портфеля из двух активов от коэффициента корреляции [при W1 = σ2 / ( σ1 σ2 )]
Зависимость стандартного отклонения доходности портфеля от коэффициента корреляции показана на рис. 4.4 (при условии равенства весов и стандартных отклонений доходности активов). Как мы уже знаем, стандартное отклонение доходности портфеля меняется от нуля до величины стандартного отклонения доходности каждого из активов (для удобства они приняты за 1). Следует отметить, что отыскать на рынке пару активов с отрицательной корреляцией весьма затруднительно, почти всегда корреляция положительна. А при нулевой корреляции стандартное отклонение доходности портфеля снижается всего до 0,71 от σ1 (равного в этом случае σ2).
Рассмотрим теперь самый общий случай, когда у двух активов разные доходности и разные стандартные отклонения доходностей. Зависимость стандартного отклонения доходности такого портфеля от коэффициента корреляции и соотношения весов показана на рис. 4.5 (он построен для случая, когда и доходность, и дисперсия второго актива вдвое выше, чем у первого). На плоскости "доходность – риск" образуются эллипсы (это следует из вышеприведенных формул), каждому коэффициенту корреляции соответствует свой эллипс, точки на каждом эллипсе соответствуют разным соотношениям весов компонент. При полной корреляции, как положительной, так и отрицательной (r12 = ±1), эллипсы вырождаются в отрезки прямых линий.
Рис.4.5. Зависимость доходности портфеля из двух активов от коэффициента корреляции и соотношения весов (доходность и дисперсия второго актива вдвое выше, чем у первого).
На графике видно, что не только для отрицательных, но и для низких положительных корреляций существуют портфели, риск которых меньше, чем риск каждого из входящих в них активов. В самом деле, в нашем примере уже для r12 = +0,5 при некоторых соотношений весов стандартное отклонение портфеля меньше, чем стандартное отклонение любого из активов. Добавляя к активу 1 некоторую долю актива 2 (с большей доходностью и более высоким риском) можно одновременно увеличить доходность портфеля и снизить его риск.